معمای اول :

" من در خانه ترازویی دارم که درست تنظیم نشده است، زیرا وقتی که داریوش روی آن می ایستد، وزن او را 10 کیلوگرم و زمانی که سیمین روی آن قرار می گیرد، وزنش را 14 کیلوگرم نشان می دهد. اما وقتی هر دو با هم روی آن می ایستند، وزن آن ها را 22.5 کیلوگرم نشان می دهد. داریوش و سیمین هر کدام چقدر وزن دارند؟ "

راه حل:

x = وزن داریوش
y = وزن سیمین
z = مقدار وزنی که ترازو اشتباه نشان می دهد
آنگاه :
x + z = 10
y + z = 14
x + y + z = 22.5

که با حل سه معادله سه مجهول z برابر 1.5 بدست می آید. در نتیجه داریوش 8.5 کیلو و سیمین 12.5 وزن دارد.

معمای دوم :

اگر 12 مهره داشته باشیم به طوری که وزن یکی از مهره ها با بقیه متفاوت باشد .
چگونه باحداکثر 3 بار استفاده از یک ترازوی دو کفه  می توان مهره ی متفاوت را یافت؟

پاسخ اول و پیچیده :

برای بيان بهتر الگوريتم دو قرارداد زير را در نظر می گيريم:
1)به مهره ها شماره 1 تا 12 را نسبت می دهيم.
2)مهره سنگين را با H و مهره سبک را با L نشان مي دهيم. مثلا اگر بخواهيم بگوييم که مهره 1 سنگينتر است آنرا به صورت 1H نشان می دهيم و اگر بخواهيم بگوييم که مهره 1 سبکتر است آنرا به صورت 1L نمايش می دهيم.

راه حل:

1)مهره های 1و2و3و4 را با مهره های 5و6و7و8 وزن می کنيم. در اينصورت داريم:
1-1) اگر دو طرف مساوی باشند:
در اينصورت يکی از مهره های 9 تا 12 مهره مورد نظر خواهد بود. يعنی يکی از حالتهای زير ممکن خواهد بود:
9H, 9L, 10H, 10L, 11H, 11L, 12H, 12L
حال مهره های 1و2و3 را با مهره های 9و10و11 وزن می کنيم. حالتهايي که خواهيم داشت عبارتند از:
1-1-1) اگر دو طرف مساوی باشند:
در اينصورت تنها حالتهای ممکن 12H يا 12L خواهد بود. يعنی مهره شماره 12 با بقيه متفاوت است. کافيست تا مهره 12 را با مهره شماره 1 وزن کنيم. در اينصورت معلوم می شود که 12 از بقيه سنگينتر است يا اينکه 12 از بقيه سبکتر است.
2-1-1) اگر طرف مهره های 1و2و3 سنگينتر باشد، در اينصورت حالتهای ممکن عبارتند از:
9L, 10L, 11L
کافيست تا مهره 9 را با مهره 10 وزن کنيم. هر کدام که سبکتر باشد، جواب مساله است و اگر 9 با 10 هموزن باشد، در اينصورت مهره شماره 11 جواب مساله است که از همه سبکتر است.
3-1-1) اگر طرف مهره های 9و10و11 سنگينتر باشد، در اينصورت حالتهای ممکن عبارتند از:
9H, 10H, 11H
کافيست تا مهره 9 را با مهره 10 وزن کنيم. هر کدام که سنگينتر باشد، جواب مساله است و اگر 9 با 10 هموزن باشد، در اينصورت مهره شماره 11 جواب مساله است که از همه سنگينتر است.
2-1) اگر مهره های 1و2و3و4 سنگين تر از مهره های 5و6و7و8 باشند:
در اينصورت يکی از مهره های 1 تا 4 بين اين 12 مهره از بقيه سنگينتر است يا يکی از مهره های 5 تا 8 بين اين 12 مهره از بقيه سبکتر است. يعنی حالتهای ممکن عبارتند از:
1H, 2H, 3H, 4H, 5L, 6L, 7L, 8L
در اينصورت مهره های 1و2و5 را با مهره های 3و4و6 وزن می کنيم. در اينصورت خواهيم داشت:
1-2-1)اگر اين دو مساوی باشند حالتهای ممکن عبارت خواهند بود از :
7L, 8L
کافيست تا مهره 7 را با مهره شماره 8 وزن کنيم. هر کدام که سبکتر باشد، مهره مورد نظر می باشد.
2-2-1)اگر 1و2و5 سنگين تر از 3و4و6 باشند، در اينصورت حالتهای ممکن عبارتند از:
1H, 2H, 6L
کافيست مهره 1 را با مهره شماره 2 وزن کنيم. هر کدام سنگينتر باشد مهره جواب است و اگر مساوی باشند در اينصورت مهره شماره 6 جواب است که از بقيه مهره ها سبکتر است.
-2-1) اگر 1و2و5 سبکتر از 3و4و6 باشند، در اينصورت حالتهای ممکن عبارتند از:
5L, 3H, 4H
کافيست مهره 3 را با مهره شماره 4 وزن کنيم. هر کدام سنگينتر باشد مهره جواب است و اگر مساوی باشند در اينصورت مهره شماره 5 جواب است که از بقيه مهره ها سبکتر است.
3-1) اگر مهره های 1و2و3و4 سبکتر از مهره های 5و6و7و8 باشند:
در اينصورت يکی از مهره های 1تا4 بين اين 12 مهره از بقيه سبکتر است يا يکی از مهره های 5 تا 8 بين اين 12 مهره از بقيه سنگين تر است. يعنی حالتهای ممکن عبارتند از:
1L, 2L, 3L, 4L, 5H, 6H, 7H, 8H
که مشابه قسمت 2-1 قبل حل می شود.

پاسخی دیگر

قبل از هر چیز ببخشید که جوابم طولانی است (هر چند که در عمل بسیار ساده است ونوشتن ان سخت است) امیدوارم با کمی حوصله ان را بخوانید:
اول مهره ها را از 1 تا 12 شماره گذاری میکنیم بعد انها را به 3 دسته 4 تایی تقسیم کرده بعد 2 دسته را روی کفه های ترازو گذاشته 2 حالت به وجود میایدیا 2 دسته برابرندکه میفهمیم مهره در دسته سوم است یا 2 دسته برابر نیستند درحالت اول ما 2 مهره از دسته سوم را برداشته هربک را در یک کفه قرار میدهیم با این مقایسه میفهمیم که مهره در کدام یک از دسته های 2 تایی است حالایکی از این 2 مهره مشکوک رابرداشته با یک مهره ی معلوم مقایسه میکنیم مهره متفاوت را میابیم.حالت دوم که با اولین وزن کردن دسته ها نابرابرنددر این حالت 3 مهره از دسته ها را با هم جابجا میکنیم که این دومین وزن کردن است(یعنی 3 مهره ازدسته اول به دسته دوم و3 مهره از دسته دوم به دسته سوم و3مهره از دسته سوم به اول)البته چون مهره ها دارای شماره است میدانیم کدام مهره ها جابجا شده اند.با این جابجایی 3 حالت به وجود میاید:1.-کفه های ترازو با هم برابر میشوند بنابراین می فهمیم مهره در 3 مهره جابجا شده ایست که درترازو نیست و همچنین براحتی متوجه میشویم که در اولین وزن کردن کدام از ان 3 دسته مثل هم بودند و مهره ی متفاوت سبکتر است یا سنگینتربافهمیدن همین موضوع با سومین وزن کردن مهره را میابیم.2.-کفه های ترازو به حالت نابربری اول(اولین وزن کردن) بایستند بنابراین میفهمیم مهره مورد نظر یکی از ان 2 مهره تعویض نشده در کفه هاست با سومین وزن کردن یکی از این 2 مهره مشکوک راهمراه با مهره معلوم دیگری در ترازو گذاشته مهره رامیابیم.3.-کفه های ترازو خلاف حالت اول میایستند باز هم چون مهره ها شماره گذاری شده اندبا مقایسه این حالت با حالت اول(اولین وزن کردن) براحتی میفهمیم که مهره در کدام دسته است وسبکتر است یا سنگینتربازهم با اگاهی از این موضوع با سومین وزن کردن مهره را میابیم.